[破解挂谷猜想！中国女数学家王虹的非凡成就引发全球数学界轰动]

王虹：破解挂谷猜想背后的数学传奇

　　 中国女数学家首个菲尔兹奖要来了？？

　　 就在最近，数学大佬陶哲轩激动宣布：

　　 困扰数学界已久的挂谷猜想（Kakeya猜想）在三维空间中的证明终于由北大校友王虹与哥伦比亚大学数学副教授JoshuaZahl共同完成。

　　 根据陶哲轩的科普，三维 Kakeya 猜想断言：

　　 一个包含每个方向上单位长度线段的集合（即Kakeya集），在三维空间中必须具有Minkowski和Hausdorff维度等于三。这一结论不仅揭示了几何学中的深刻规律，还引发了对于空间填充和度量理论的新一轮探讨。这不仅仅是数学领域内的一个重要发现，也为我们理解自然界中的复杂结构提供了新的视角。例如，在研究某些物理现象时，我们经常需要考虑多维度的空间特性，而Kakeya集的研究结果有助于我们更准确地描述这些现象。此外，这一理论的应用可能还会延伸到计算机图形学和机器学习等领域，帮助解决一些与高维空间相关的问题。

　　 尽管这句话看似简洁，但它实际上与调和分析、数论等多个数学领域密切相关，这使得它成为众多数学家长期以来争相研究的焦点。 这种现象揭示了数学研究的一个重要特征：表面上简单的问题往往蕴含着深刻的理论背景。在数学领域，许多看似基础或简单的命题可能需要极其复杂的工具和方法来解决。这也说明了跨学科研究的重要性，以及数学家们坚持不懈探索未知的精神。正是这种精神推动着数学乃至整个科学领域的不断进步。

　　 现在，北大校友王虹和 Joshua Zahl 用 127 页论文证明了这一说法。

　　 这事儿马上在国内引发诸多热议。

　　 有人表示，一旦上述arXiv预印本经过同行评审，凭借这一突破，王虹成为了2026年菲尔兹奖的有力竞争者。

　　 要知道，菲尔兹奖是全球数学领域极具权威性的荣誉，常被誉为数学界的“诺贝尔奖”。

　　 该奖项专门授予在数学领域作出卓越贡献的青年数学家（年龄不超过40岁）。这一荣誉性的奖项每隔四年评选一次，通常会在国际数学家大会（International Congress of Mathematicians, ICM）上公布获奖名单。

　　 根据平乐县宣传部的一则报道，王虹出生于 1991 年，如今只有 34 岁。如果她能够获奖，将实现“首位中国籍女性数学家获菲尔兹奖的成就”。

　　 首先，挂谷宗一（Sōichi Kakeya）在1917年提出的数学难题，通常被称为挂谷猜想或Kakeya猜想。

　　 这个问题的原型是：

　　 一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将短棒旋转一周 360°（支点可以变化）。但厕所很小，应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少？

　　 转换成数学表达即为：

　　 当一根理论上无限细的针在三维空间中向所有可能的方向旋转时，它所扫过的最小面积实际上是一个球体的表面。这根针无论朝哪个方向旋转，其轨迹都将限定在这个球面上。因此，我们可以得出结论，该针在三维空间中旋转时扫过的最小面积等同于一个球体的表面积。 这个结论引发了一些有趣的思考。首先，从几何学的角度来看，这展示了点和线如何在更高维度的空间中形成复杂的形状。其次，这一现象也反映了自然界中物体运动的复杂性，即使是看似简单的动作也可能涉及复杂的数学原理。此外，这一理论在物理学、工程学等领域可能有着潜在的应用价值，例如在研究粒子运动或设计微小机械装置时，可能会考虑到这种基本的几何原理。

　　 数学家将这些排列称为 Kakeya 集，在三维空间中，Kakeya 集包含了从所有方向都能看到的一根短线（单位长度的线段），而三维 Kakeya 猜想断言：

　　 尽管Kakeya集（在R3中）可能显得十分稀疏，因为它们由一系列线段轨迹构成，但其Minkowski维度和Hausdorff维度均等于3。

　　 Minkowski维度又称为“盒子维度”，通过持续减小覆盖Kakeya集的结构（例如使用盒子或球体），可以测定在各种尺度下覆盖该集合所需数量与尺度大小之间的关系。

　　 Hausdorff维度提供了一种更为精确的测量方法，它通过采用多样化的覆盖策略来分析Kakeya集，允许使用各种大小和形状的集合进行覆盖。这种维度定义方式通过寻找最优化的覆盖方法来确定Kakeya集的实际维度。这种方式不仅深化了我们对Kakeya集复杂性的理解，还为研究其他高维度几何结构提供了新的视角。通过这样的研究，我们可以更好地把握那些难以直观理解的几何现象背后的数学原理。

　　 当这两个维度都为3时，从数学的角度来看，这些集合在几何上等同于整个三维空间，它们在某种程度上填充了空间的绝大部分。

　　 换句话说，虽然这些集合在外形上显得十分稀疏，但它们在几何上实际上与整个空间具有相同的“体积”或“大小”。

　　 以上说法转换成数学表达式如下：

　　 使用小尺度参数（0<𝛿<1），考虑一个由𝛿x𝛿x1 的管子组成的集合𝕋。

　　 这里的管道可以视为一种细长的三维几何体，其横截面是边长为𝛿的正方形，长度为1。集合𝕋中的管道数量大约为≈𝛿⁻²，并且这些管道的方向是在一个𝛿-分离的角度集合上。

　　 所谓𝛿-分离，意味着任意两个管子的方向之间的夹角至少为𝛿。通过这样的方式，将连续的、复杂的 Kakeya 集问题，转化为对这些离散的、具有特定尺度和方向分布的管子集合的研究。

　　 而猜想在这种离散化情况下，这些管子的并集 U𝑇∊𝕋𝑇的体积应该大约为 1。

　　 为了简化证明过程，论文引入了几种简化假设。例如，假设管集合是“粘性的”，即它们在多个尺度上保持相似的结构。

　　 基于此，该领域的过往研究主要聚焦于探讨形式上的下界问题（即集合可能达到的最小维度）。

　　 具体而言，在三维空间中，对于各种介于（0 早期研究中，近年来，人们对不同维度下的数学问题进行了深入的研究。在d=1的情况下，即只考虑单管的情况，已经得到了证实。而在d=2的情况下，通过结合L2论证以及线相交性质的方法，也得到了有效的证明。特别是在1995年，Wolff提出的“梳子”论证方法，对于d=2.5的情况提供了重要的见解。这一系列进展不仅展示了数学研究领域的不断突破，同时也反映了科学家们在探索复杂几何问题时所展现出的创新精神和严谨态度。这些成果无疑为后续研究奠定了坚实的基础，并可能在未来引领更多激动人心的发现。 直到最近，王虹、Joshua Zahl 二人证明了 d=3 的情况。 概括而言，他们所使用的证明方法相当复杂，借助非凝聚条件、沃尔夫公理以及多尺度分析等多种技术手段进行了详尽的论证过程。 这里我们直接看陶哲轩帮忙总结的关键技术环节： 他们证明的总体思路是对维度参数 d 进行归纳。 他们首先定义了一种情形K(d)，目的是通过数学推导，证明在特定维度参数d的范围内，存在一种可以从K(d)推导出K(d𝛼)的关系，其中𝛼是一个大于0且与d相关的数值。 PS：K (d) 是指对于所有尺寸为𝛿x𝛿x1、方向为𝛿分隔的约𝛿-2 个管子的配置，不等式（1）成立。 通过不断重复这个推导过程，让维度参数 d 逐渐接近 3。 具体来说，他们主要采用多尺度分析方法，对管道集合及其组织架构进行了详尽探讨。 他们对粗细管进行了分类，并将细管组装成了粗管。由于细管的方向具有特定的分布特性，因此每个粗管能够容纳的细管数量是有限的。因此，为了覆盖所有的细管，需要一定数量的粗管。 然后，基于 K (d) 定义下的不等式，他们计算出了粗管的总体积下限，再结合之前计算粗管总体积的方法和结果，进一步分析出了粗管的一个特殊属性 —— “多重性”。 这指的是在大直径管道所占用的空间内，管道分布的紧密程度或重叠程度。 接下来，通过对粗管里的细管进行缩放，并再次结合 K (d) 定义下的不等式，他们得出了缩放之后细管的多重性。 根据上述关于粗管和细管多样性的信息，理论上可以推算出所有细管集合的多样性范围。 结果是，在一种叫做“粘性”（sticky）的特殊情况下，他们发现得到的结果和一开始想要证明的不等式相符。 这里补充一下，“粘性”是指在某些尺度下，管子彼此紧密贴合，形成了所谓的“发际”（hairbrush）结构。 另外，在处理非粘性问题时，他们提出了“颗粒化”（granularity）理论，这是一种对集合内部结构的描述，有助于理解集合在不同尺度上的组织方式。 由于在“非粘性”条件下，粗管和细管的配置导致了不平衡现象，因此无法直接应用先前的K(d)公式。为了解决这一难题，研究者们转向了一种特殊的集合——加厚的Kakeya集，并探讨了其与球体相交的情况。 这一创新性的方法不仅展示了科学家们在解决复杂问题时的灵活性和创造性，同时也凸显了数学理论在实际物理问题中的重要性和适用性。通过引入新的数学工具，研究者们可能为流体力学领域带来全新的视角，进一步推动该领域的深入研究和发展。 如果 K (d) 成立，那么这个特殊集合可能会表现得像某种维度的分形；要是这个特殊集合在某个尺度下比预期的更密集，结合这个特殊集合的邻域体积和球的体积进行分析，就能得到一个新的结论。 而这一结论正是他们希望证明的K(d𝛼)情况，这种特殊密集情形同样被视为“Frostman测度违规”。 除此之外，研究进一步探讨了“Katz-Tao凸沃尔夫公理”的应用，这是一套用于描述一组管状结构行为的假设条件。这些公理在证明过程中被用作归纳假设。这一理论框架不仅为数学家们提供了一种新的视角来理解复杂的几何结构，还可能对其他领域的研究产生深远影响，例如在材料科学中对纳米管行为的研究，或是在信号处理领域中对波导特性的分析。这些假设的引入，无疑为解决相关问题开辟了新途径，并且可能会激发未来更多跨学科的研究合作。 更多细节可查看原论文。 这项研究的作者一共只有两位：王虹和 Joshua Zahl。 其中北大校友王虹目前是纽约大学数学系副教授。 她于1991年在广西桂林平乐县出生，小学期间连跳两级。16岁时，她以653分的成绩考入北京大学地球与空间物理系，随后转至数学系，并于2011年获得学士学位。 2014 年获得巴黎综合理工学院工程师学位和巴黎第十一大学硕士学位。2019 年博士毕业于麻省理工大学，师从 Larry Guth。 2019年至2021年期间，他担任普林斯顿高等研究院的博士后研究员；2021年至2023年，他在加州大学洛杉矶分校担任助理教授职位。 主要的研究方向为傅里叶变换相关问题。 例如，如果我们知道一个函数的傅里叶变换在某些曲线物体上，例如球面上，或在一些“弯曲”的离散点集合上有定义，那么我们能够对该函数进行怎样的分析？我们又如何能以一种有意义的方式将其分解为多个组成部分（这与解耦理论相关）？事实上，这类问题还与Falconer距离问题以及交点几何学紧密相连，我对这些联系也非常感兴趣。 JoshuaZahl目前担任不列颠哥伦比亚大学数学系的副教授，这一身份使他在学术界占据了一席之地。他的研究成果不仅推动了数学领域的发展，也为学生提供了宝贵的指导和支持。作为一名观察者，我认为Zahl教授在教学与研究上的双重贡献，无疑为该领域的年轻学者树立了一个积极的榜样。这不仅展示了个人努力的重要性，也强调了学术机构对培养下一代科学家所起的关键作用。 主要研究领域集中在经典傅里叶分析和组合数学。对于交叉几何学、限制性猜想以及Kakeya猜想特别感兴趣。 论文： https://arxiv.org/abs/2502.17655 参考链接： [1]https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631 [2]https://sites.google.com/view/hongwang/home [3]https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/ [4]https://www.zhongkao.com/e/20070917/4b8bc922657ab.shtml 本文源自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作者：一水，标题为《90后北大校友攻克挂谷猜想，陶哲轩转发赞叹！网友：未来菲尔兹奖得主》

　　 早期研究中，近年来，人们对不同维度下的数学问题进行了深入的研究。在d=1的情况下，即只考虑单管的情况，已经得到了证实。而在d=2的情况下，通过结合L2论证以及线相交性质的方法，也得到了有效的证明。特别是在1995年，Wolff提出的“梳子”论证方法，对于d=2.5的情况提供了重要的见解。这一系列进展不仅展示了数学研究领域的不断突破，同时也反映了科学家们在探索复杂几何问题时所展现出的创新精神和严谨态度。这些成果无疑为后续研究奠定了坚实的基础，并可能在未来引领更多激动人心的发现。

　　 直到最近，王虹、Joshua Zahl 二人证明了 d=3 的情况。

　　 概括而言，他们所使用的证明方法相当复杂，借助非凝聚条件、沃尔夫公理以及多尺度分析等多种技术手段进行了详尽的论证过程。

　　 这里我们直接看陶哲轩帮忙总结的关键技术环节：

　　 他们证明的总体思路是对维度参数 d 进行归纳。

　　 他们首先定义了一种情形K(d)，目的是通过数学推导，证明在特定维度参数d的范围内，存在一种可以从K(d)推导出K(d𝛼)的关系，其中𝛼是一个大于0且与d相关的数值。

　　 PS：K (d) 是指对于所有尺寸为𝛿x𝛿x1、方向为𝛿分隔的约𝛿-2 个管子的配置，不等式（1）成立。

　　 通过不断重复这个推导过程，让维度参数 d 逐渐接近 3。

　　 具体来说，他们主要采用多尺度分析方法，对管道集合及其组织架构进行了详尽探讨。

　　 他们对粗细管进行了分类，并将细管组装成了粗管。由于细管的方向具有特定的分布特性，因此每个粗管能够容纳的细管数量是有限的。因此，为了覆盖所有的细管，需要一定数量的粗管。

　　 然后，基于 K (d) 定义下的不等式，他们计算出了粗管的总体积下限，再结合之前计算粗管总体积的方法和结果，进一步分析出了粗管的一个特殊属性 —— “多重性”。

　　 这指的是在大直径管道所占用的空间内，管道分布的紧密程度或重叠程度。

　　 接下来，通过对粗管里的细管进行缩放，并再次结合 K (d) 定义下的不等式，他们得出了缩放之后细管的多重性。

　　 根据上述关于粗管和细管多样性的信息，理论上可以推算出所有细管集合的多样性范围。

　　 结果是，在一种叫做“粘性”（sticky）的特殊情况下，他们发现得到的结果和一开始想要证明的不等式相符。

　　 这里补充一下，“粘性”是指在某些尺度下，管子彼此紧密贴合，形成了所谓的“发际”（hairbrush）结构。

　　 另外，在处理非粘性问题时，他们提出了“颗粒化”（granularity）理论，这是一种对集合内部结构的描述，有助于理解集合在不同尺度上的组织方式。

　　 由于在“非粘性”条件下，粗管和细管的配置导致了不平衡现象，因此无法直接应用先前的K(d)公式。为了解决这一难题，研究者们转向了一种特殊的集合——加厚的Kakeya集，并探讨了其与球体相交的情况。 这一创新性的方法不仅展示了科学家们在解决复杂问题时的灵活性和创造性，同时也凸显了数学理论在实际物理问题中的重要性和适用性。通过引入新的数学工具，研究者们可能为流体力学领域带来全新的视角，进一步推动该领域的深入研究和发展。

　　 如果 K (d) 成立，那么这个特殊集合可能会表现得像某种维度的分形；要是这个特殊集合在某个尺度下比预期的更密集，结合这个特殊集合的邻域体积和球的体积进行分析，就能得到一个新的结论。

　　 而这一结论正是他们希望证明的K(d𝛼)情况，这种特殊密集情形同样被视为“Frostman测度违规”。

　　 除此之外，研究进一步探讨了“Katz-Tao凸沃尔夫公理”的应用，这是一套用于描述一组管状结构行为的假设条件。这些公理在证明过程中被用作归纳假设。这一理论框架不仅为数学家们提供了一种新的视角来理解复杂的几何结构，还可能对其他领域的研究产生深远影响，例如在材料科学中对纳米管行为的研究，或是在信号处理领域中对波导特性的分析。这些假设的引入，无疑为解决相关问题开辟了新途径，并且可能会激发未来更多跨学科的研究合作。

　　 更多细节可查看原论文。

　　 这项研究的作者一共只有两位：王虹和 Joshua Zahl。

　　 其中北大校友王虹目前是纽约大学数学系副教授。

　　 她于1991年在广西桂林平乐县出生，小学期间连跳两级。16岁时，她以653分的成绩考入北京大学地球与空间物理系，随后转至数学系，并于2011年获得学士学位。

　　 2014 年获得巴黎综合理工学院工程师学位和巴黎第十一大学硕士学位。2019 年博士毕业于麻省理工大学，师从 Larry Guth。

　　 2019年至2021年期间，他担任普林斯顿高等研究院的博士后研究员；2021年至2023年，他在加州大学洛杉矶分校担任助理教授职位。

　　 主要的研究方向为傅里叶变换相关问题。

　　 例如，如果我们知道一个函数的傅里叶变换在某些曲线物体上，例如球面上，或在一些“弯曲”的离散点集合上有定义，那么我们能够对该函数进行怎样的分析？我们又如何能以一种有意义的方式将其分解为多个组成部分（这与解耦理论相关）？事实上，这类问题还与Falconer距离问题以及交点几何学紧密相连，我对这些联系也非常感兴趣。

　　 JoshuaZahl目前担任不列颠哥伦比亚大学数学系的副教授，这一身份使他在学术界占据了一席之地。他的研究成果不仅推动了数学领域的发展，也为学生提供了宝贵的指导和支持。作为一名观察者，我认为Zahl教授在教学与研究上的双重贡献，无疑为该领域的年轻学者树立了一个积极的榜样。这不仅展示了个人努力的重要性，也强调了学术机构对培养下一代科学家所起的关键作用。

　　 主要研究领域集中在经典傅里叶分析和组合数学。对于交叉几何学、限制性猜想以及Kakeya猜想特别感兴趣。

　　 论文：

　　 https://arxiv.org/abs/2502.17655

　　 参考链接：

　　 [1]https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631

　　 [2]https://sites.google.com/view/hongwang/home

　　 [3]https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/

　　 [4]https://www.zhongkao.com/e/20070917/4b8bc922657ab.shtml

　　 本文源自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作者：一水，标题为《90后北大校友攻克挂谷猜想，陶哲轩转发赞叹！网友：未来菲尔兹奖得主》